Authorship：Principal investigator 

Grant amount：\4940000 （ Direct Cost: \3800000 、 Indirect Cost：\1140000 ）

シュレディンガー方程式や KdV 方程式に代表される分散型方程式は, 様々な波動現象を記述する偏微分方程式である. 分散型方程式の研究において, 調和解析の中心的な研究課題であるフーリエ制限定理は, 分散型方程式のもつ分散性を反映した時空間評価を可能にし, 非線形項を持つ非線形分散型方程式の解の存在や, 挙動の解析において重要な役割を果たしてきた.
本研究では, 近年フーリエ制限定理で特に発展著しい多重線形制限定理とディカップリング定理を駆使し, 非線形分散型方程式の初期値問題を考察する. 特に, 適切性が, どれだけ低い正則性の空間で成立するかを明らかにする.
本年度に得られた研究成果は以下である.
(1). 浅瀬での波動現象を記述する分散性を一般化した KP 方程式の初期値問題について考察した. KP 程式は KdV 方程式の二次元版であり可積分系を満たす方程式である. KP 方程式は波の表面張力によって, 記述する方程式が異なり, それぞれ KP-I 方程式, KP-II 方程式と呼ばれる. この研究では, 平面上とシリンダー上の一般化 KP-I 方程式の時間局所的適切性を示した. 一般に KP-I 方程式は KP-II 方程式と比較し適切性の証明が難しく KP-I 方程式は逐次近似法で適切性を示すことが困難であることが知られているが, 5次 KP-I 方程式など, より強い分散性を仮定した方程式に対しては逐次近似法が有効である. 本研究によって, 逐次近似法が機能する分散性の強さの境界を見出し, KP-I 方程式を含めた一般化 KP-I 方程式の, 既存の結果より広い空間での適切性を示した. この研究は A. Sanwal 氏(Innsbruck), R. Schippa 氏(UCB)との共同研究によって行われた.
(2). 微分を含む二次の非線形項を持つ三本のシュレディンガー方程式系の初期値問題を考えた. この方程式系に対し, 適切性の条件は三本の方程式の線形部のパラメータに依存することが知られている. この研究では逐次近似法が機能しない条件下で, 非線形項の係数にエネルギー法が機能する条件を仮定し適切性を証明した. この研究は岡本葵氏(大阪大), 平山浩之氏(宮崎大)との共同研究によって行われた. この結果で仮定した初期値の正則性は改善の余地があるため, 引き続き両氏と共同研究を遂行中である.
一般化 KP-I 方程式の研究で鍵となった三重線形評価式は本研究課題の重要な研究対象である. この研究では平面やトーラス上では適用されていた三重線形評価式が, シリンダー上でも適用可能であることを明らかにすることができた. また, この研究を通してトーラス上の三重線型評価式の今後の進展に繋がる知見を得ることができ, 今後の損失のない三重線型評価式の研究の発展に役立つことが期待される.
以上より, 本研究課題の進捗状況は概ね順調に進展している.
次年度取り組む研究は以下である.
1. 本年度に引き続き KP-I 方程式の適切性の研究を行う. 特にトーラス上の問題はエネルギー空間での適切性が未解決であるため, KP-I 方程式に対応した損失のない三重線型評価式を考察し, エネルギー空間での適切性を目指す.
2. 尺度臨界空間での時間大域的適切性を考察する. 具体的な方程式として二次の非線形項を持つ非線形シュレディンガー方程式と L^2 臨界の修正ザハロフクズネツォフ方程式を考察する.