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国名：日本国

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国名： 日本国

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国名： 日本国

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担当区分：研究代表者 

配分額：3900000円 （ 直接経費：3000000円 、 間接経費：900000円 ）

1. 平坦とは限らないトーラスにおいてWD作用素を定式化して，トーラスに正スカラー曲率計量が存在しないことを組み合わせ論的に証明すること．
2. 一般のリーマン多様体でWD作用素を定式化して，特に四次元多様体のとき，ロホリンの定理を組み合わせ論的に証明すること．
3. 一般の四次元リーマン多様体でWD作用素を用いて，非線型方程式のザイバーグ=ウィッテン方程式を組み合わせ論的に再定式化すること．
今年度も，前年度までに引き続き，境界付き多様体の指数とドメインウォールフェルミオンとの関係について考察した．物理的にはアノマリーの考察に相当する．最初に得られたのはAPS指数のときで，次が mod 2指数のときで，現在は複素フェルミオンのときを引き続き考えている．しかし，めざましい進展は得られなかったので，物理的応用も研究することにして，そちらでは結果が出た．論文準備中である．さらに，派生研究として，反自己双対計量のモジュライ空間の向き付けについてさらに考察した．K3曲面のとき，反自己双対計量のモジュライ空間が向き付け可能ではないという大変興味深い結果を得ていたが，その証明を見直し，現在は一般の多様体の向き付けの条件を求めるために，KR指数を計算している．ほぼ計算は完了した．また，格子指数の連続極限の存在について証明を大幅に簡略化した．結果としてウィルソン項の数学的位置付けがさらに明確になった．
当初の計画通りにおおむね順調に進展しており，さらに派生研究もある．
今後は，複素フェルミオンを引き続き考えるとともに，格子指数の応用を探っていきたい．また，ウィルソン項の役割をさらに突き詰めることによって，格子指数への透明な理解を目指す．おそらくそれはザイバーグーウィッテン理論への応用もあると考えている．

担当区分：連携研究者 

サイバーグウイッテン理論でのバウアー古田によるモノポール写像を、AHS複体が閉像である場合に、普遍被覆空間上で構成した。そのためには作用素代数を土台にしたHigson-Kasparov-TroutによるHilbert空間上の無限次元Bott周期性を用いた。特に線形化写像が同型を与える場合に、被覆モノポール写像度を同変E群の元として与え、そこから群環に関わるK群の間の準同型を構成した。それがバウアー・古田によるモノポール写像度の普遍被覆版に相当する。その応用として、4次元スピン分類多様体に対して、新しい位相不等式を予想し、一般型極小複素曲面を含む多くのクラスでそれが成立することを示した。

担当区分：研究代表者 

配分額：4290000円 （ 直接経費：3300000円 、 間接経費：990000円 ）

指数の局所化の射程を探った．
第一は，境界付き多様体の指数とドメインウォールフェルミオンとの関係を，物理の格子ゲージ理論に触発され，研究した．その結果，APS指数をドメインウォールフェルミオンのエータ不変量で表す公式を得た．これらの公式のmod 2指数や複素フェルミオンへの拡張も研究した．
第二は，反自己双対計量のモジュライ空間の向き付け可能性を判定するためのKR指数の計算である．
指数定理と格子ゲージ理論を架橋し，Atiyah-Patodi-Singerの指数定理の格子ゲージ理論的定式化に道を開いた．さらに，指数の局所化の射程を探った．第一に，境界付き多様体の指数とドメインウォールフェルミオンとの関係を，物理の格子ゲージ理論に触発され，研究したことがある．その結果，APS指数をドメインウォールフェルミオンのエータ不変量で表す公式を得た．これらの公式のmod 2指数や複素フェルミオンへの拡張も研究した．第二に，反自己双対計量のモジュライ空間の向き付け可能性を判定するためのKR指数の計算がある．

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担当区分：研究代表者 

担当区分：研究代表者 

配分額：3770000円 （ 直接経費：2900000円 、 間接経費：870000円 ）

報告者は四次元多様体論におけるゲージ理論のドナルドソン理論とザイバーグ＝ウィッテン理論を超越的手法により研究している．特に，インスタントンやモノポールのモジュライ空間のコンパクト性の機構の背後に興味がある．本課題の研究成果としては，次が得られた．インスタントンのモジュライ空間が非コンパクトであるときのその非コンパクト性の度合いを定量化するため，L2計量を導入し，その直径のインスタントン数が大きくなる極限での増大度を調べた．その結果として，標準球面のときのモジュライ空間の直径の最適な評価が得られた．

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