研究者詳細 - 水谷　治哉

写真a

ミズタニ　ハルヤ

水谷　治哉

MIZUTANI Haruya

所属

大学院多元数理科学研究科多元数理科学専攻高次位相教授

大学院担当

大学院多元数理科学研究科

学部担当

理学部数理学科

研究キーワード 4

散乱理論
偏微分方程式
スペクトル理論
シュレディンガー方程式

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研究分野 2

自然科学一般 / 数理解析学 / 偏微分方程式論
自然科学一般 / 基礎解析学

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経歴 5

名古屋大学大学院多元数理科学研究科教授

2026年10月 - 現在
大阪大学理学研究科数学専攻准教授

2017年4月 - 2026年9月
大阪大学理学研究科数学専攻助教

2014年4月 - 2017年3月
学習院大学理学部数学科助教

2012年10月 - 2014年3月
京都大学数理解析研究所特定研究員 (グローバルCOE)

2011年4月 - 2012年9月

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学歴 1

東京大学大学院数理科学研究科

2006年4月 - 2011年3月

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受賞 1

日本数学会賞建部賢弘賞特別賞

2017年日本数学会シュレディンガー方程式に対するストリッカーツ評価

水谷治哉

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論文 30

Uniform resolvent estimates, smoothing effects and spectral stability for the Heisenberg sublaplacian 査読有り Open Access

Luca Fanelli, Haruya Mizutani, Luz Roncal, Nico Michele Schiavone

Journal d'Analyse Mathématique 2026年9月

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記述言語：英語掲載種別：研究論文（学術雑誌）出版者・発行元：Springer Science and Business Media LLC

DOI： 10.1007/s11854-026-0451-2

その他リンク： https://link.springer.com/article/10.1007/s11854-026-0451-2
$L^p$-boundedness of wave operators for fourth order Schrödinger operators with zero resonances on R^3 査読有り

Haruya Mizutani, Zijun Wan, Xiaohua Yao

Journal of Functional Analysis 289 巻 ( 8 ) 頁： 111013 - 111013 2025年10月

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掲載種別：研究論文（学術雑誌）出版者・発行元：Elsevier BV

DOI： 10.1016/j.jfa.2025.111013
Global Kato smoothing and Strichartz estimates for Schrödinger type equations with rough decay potentials 査読有り

Haruya Mizutani, Xiaohua Yao

Reviews in Mathematical Physics 2025年8月

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掲載種別：研究論文（学術雑誌）

DOI： 10.1142/S0129055X24500508
Modified scattering for the cubic nonlinear Schrödinger equation with long-range potentials in one space dimension 査読有り

Masaki Kawamoto, Haruya Mizutani

Proceedings of the American Mathematical Society 2025年6月

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掲載種別：研究論文（学術雑誌）出版者・発行元：American Mathematical Society (AMS)

<p>We consider the cubic nonlinear Schrödinger equation with long-range linear potentials in one space dimension, and prove the modified scattering in the energy space for the associated final state problem with a prescribed small asymptotic profile. Compared with the leading term of the free solution, the asymptotic profile has an additional phase correction depending both on the long-range part of the potential and on the nonlinear term. The proof is based on a simple energy method and does not rely on global-in-time Strichartz estimates for Schrödinger equations with linear potentials. In particular, the class of potentials to which our theorem applies is large enough to accommodate slowly decaying negative potentials so that the associated Schrödinger operators may have negative eigenvalues.</p>

DOI： 10.1090/proc/17268

その他リンク： https://www.ams.org/proc/0000-000-00/S0002-9939-2025-17268-9/S0002-9939-2025-17268-9.pdf
Non-existence of Radial Eigenfunctions for the Perturbed Heisenberg Sublaplacian 査読有り Open Access

Luca Fanelli, Haruya Mizutani, Luz Roncal, Nico Michele Schiavone

Journal of Fourier Analysis and Applications 31 巻 ( 3 ) 2025年5月

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掲載種別：研究論文（学術雑誌）出版者・発行元：Springer Science and Business Media LLC

Abstract

We prove uniform resolvent estimates in weighted $$L^2$$ -spaces for radial solutions of the sublaplacian $$\mathcal {L}$$ on the Heisenberg group $$\mathbb {H}^d$$ . The proofs are based on the multipliers methods, and strongly rely on the use of suitable multipliers and of the associated Hardy inequalities. The constants in our inequalities are explicit and depend only on the dimension d. As application of the method, we obtain some suitable smallness and repulsivity conditions on a complex radial potential V on $$\mathbb {H}^d$$ such that $$\mathcal {L}+V$$ has no radial eigenfunctions.

DOI： 10.1007/s00041-025-10167-6

Open Access

その他リンク： https://link.springer.com/article/10.1007/s00041-025-10167-6/fulltext.html
Modified scattering for nonlinear Schrödinger equations with long-range potentials 査読有り

Masaki Kawamoto, Haruya Mizutani

Transactions of the American Mathematical Society 2025年2月

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出版者・発行元：American Mathematical Society (AMS)

<p>We study the final state problem for the nonlinear Schrödinger equation with a critical long-range nonlinearity and a long-range linear potential. Given a prescribed asymptotic profile which is different from the free evolution, we construct a unique global solution scattering to the profile. In particular, the existence of the modified wave operators is obtained for sufficiently localized small scattering data. The class of potential includes a repulsive long-range potential with a short-range perturbation, especially the positive Coulomb potential in two and three space dimensions. The asymptotic profile is constructed by combining Yafaev’s type linear modifier associated with the long-range part of the potential and the nonlinear modifier introduced by Ozawa. Finally, we also show that one can replace Yafaev’s type modifier by Dollard’s type modifier under a slightly stronger decay assumption on the long-range potential. This is the first positive result on the modified scattering for the nonlinear Schrödinger equation in the case when both of the nonlinear term and the linear potential are of long-range type.</p>

DOI： 10.1090/tran/9369

arXiv

その他リンク： https://www.ams.org/tran/0000-000-00/S0002-9947-2025-09369-3/S0002-9947-2025-09369-3.pdf
Counterexamples and weak (1,1) estimates of wave operators for fourth-order Schrödinger operators in dimension three 査読有り Open Access

Journal of Spectral Theory 14 巻 ( 4 ) 頁： 1409 - 1450 2024年9月

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掲載種別：研究論文（学術雑誌）

DOI： 10.4171/jst/522

Open Access
Global in time Strichartz inequalities on asymptotically flat manifolds with temperate trapping 査読有り

Jean-Marc BOUCLET, Haruya MIZUTANI

Mémoires de la Société mathématique de France 182 巻 2024年9月

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掲載種別：研究論文（学術雑誌）出版者・発行元：Societe Mathematique de France

DOI： 10.24033/msmf.490
$L^p$-boundedness of wave operators for bi-Schrödinger operators on the line 査読有り

Haruya Mizutani, Zijun Wan, Xiaohua Yao

Advances in Mathematics 451 巻頁： 109806 2024年8月

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記述言語：英語掲載種別：研究論文（学術雑誌）出版者・発行元：Elsevier BV

DOI： 10.1016/j.aim.2024.109806
Asymptotic behavior for the long-range nonlinear Schrödinger equation on the star graph with the Kirchhoff boundary condition 査読有り Open Access

Kazuki Aoki, Takahisa Inui, Hayato Miyazaki, Haruya Mizutani, Kota Uriya

Pure and Applied Analysis 4 巻 ( 2 ) 頁： 287 - 311 2022年10月

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記述言語：英語掲載種別：研究論文（学術雑誌）出版者・発行元：Mathematical Sciences Publishers

DOI： 10.2140/paa.2022.4.287
Spectral enclosures for Dirac operators perturbed by rigid potentials 査読有り Open Access

Haruya Mizutani, Nico M. Schiavone

Reviews in Mathematical Physics 34 巻 ( 8 ) 頁： 250023 2022年5月

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掲載種別：研究論文（学術雑誌）

DOI： 10.1142/S0129055X22500234
Kato Smoothing, Strichartz and Uniform Sobolev Estimates for Fractional Operators With Sharp Hardy Potentials 査読有り Open Access

Haruya Mizutani, Xiaohua Yao

Communications in Mathematical Physics 388 巻 ( 1 ) 頁： 581 - 623 2021年11月

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掲載種別：研究論文（学術雑誌）出版者・発行元：Springer Science and Business Media LLC

DOI： 10.1007/s00220-021-04229-1

その他リンク： https://link.springer.com/article/10.1007/s00220-021-04229-1/fulltext.html
Remarks on asymptotic order for the linear wave equation with the scale-invariant damping and mass with $L^r$-data 査読有り

Takahisa Inui, Haruya Mizutani

Proceedings of the American Mathematical Society 149 巻 ( 8 ) 頁： 3473 - 3484 2021年5月

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記述言語：英語掲載種別：研究論文（学術雑誌）出版者・発行元：American Mathematical Society ({AMS})

DOI： 10.1090/proc/15481

その他リンク： https://www.ams.org/proc/earlyview/#proc15481/.pdf
Scattering and asymptotic order for the wave equations with the scale-invariant damping and mass 査読有り

Takahisa Inui, Haruya Mizutani

Nonlinear Differential Equations and Applications NoDEA 28 巻 ( 1 ) 2021年1月

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記述言語：英語掲載種別：研究論文（学術雑誌）出版者・発行元：Springer Science and Business Media {LLC}

DOI： 10.1007/s00030-020-00671-7

その他リンク： http://link.springer.com/article/10.1007/s00030-020-00671-7/fulltext.html
Strichartz estimates for Schrödinger equations with slowly decaying potentials 査読有り Open Access

Haruya Mizutani

Journal of Functional Analysis 279 巻 ( 12 ) 頁： 108789 - 108789 2020年12月

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掲載種別：研究論文（学術雑誌）出版者・発行元：Elsevier {BV}

DOI： 10.1016/j.jfa.2020.108789
Scattering theory in homogeneous Sobolev spaces for Schrödinger and wave equations with rough potentials 査読有り

Haruya Mizutani

Journal of Mathematical Physics 61 巻 ( 9 ) 頁： 091505 - 091505 2020年9月

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掲載種別：研究論文（学術雑誌）出版者・発行元：AIP Publishing

DOI： 10.1063/5.0019682
Failure of scattering to standing waves for a Schrödinger equation with long-range nonlinearity on star graph 査読有り

Aoki, K., Inui, T., Mizutani, H.

Journal of Evolution Equations 21 巻頁： 297 - 312 2020年

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掲載種別：研究論文（学術雑誌）出版者・発行元：Springer Science and Business Media LLC

DOI： 10.1007/s00028-020-00579-w

Scopus
Wave operators on Sobolev spaces 査読有り

Mizutani, H.

Proceedings of the American Mathematical Society 148 巻 ( 4 ) 頁： 1645 - 1652 2020年

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記述言語：英語掲載種別：研究論文（学術雑誌）

DOI： 10.1090/proc/14838

Scopus
Uniform Sobolev estimates for Schrodinger operators with scaling-critical potentials and applications 査読有り Open Access

Mizutani, H.

Analysis and PDE 13 巻 ( 5 ) 頁： 1333 - 1369 2020年

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掲載種別：研究論文（学術雑誌）出版者・発行元：Mathematical Sciences Publishers

DOI： 10.2140/apde.2020.13.1333

Scopus
Uniform resolvent estimate for Schrödinger operator with an inverse-square potential 査読有り Open Access

Haruya Mizutani, Junyong Zhang, Jiqiang Zheng

Journal of Functional Analysis 278 巻 ( 4 ) 頁： 108350 2020年

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記述言語：英語掲載種別：研究論文（学術雑誌）

DOI： 10.1016/j.jfa.2019.108350

Scopus
Eigenvalue bounds for non-self-adjoint Schrödinger operators with the inverse-square potential 査読有り

Haruya Mizutani

Journal of Spectral Theory 9 巻 ( 2 ) 頁： 677 - 709 2018年10月

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掲載種別：研究論文（学術雑誌）

DOI： 10.4171/jst/260

Web of Science

Scopus
Global-in-time smoothing effects for schrödinger equations with inverse-square potentials 査読有り Open Access

Mizutani, H.

Proceedings of the American Mathematical Society 146 巻 ( 1 ) 頁： 295 - 307 2018年

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記述言語：英語掲載種別：研究論文（学術雑誌）

DOI： 10.1090/proc/13729

Web of Science

Scopus
Uniform resolvent and strichartz estimates for Schrödinger equations with critical singularities 査読有り

Bouclet, J.-M., Mizutani, H.

Transactions of the American Mathematical Society 370 巻 ( 10 ) 頁： 7293 - 7333 2018年

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掲載種別：研究論文（学術雑誌）

DOI： 10.1090/tran/7243

Web of Science

Scopus
Remarks on endpoint Strichartz estimates for Schrödinger equations with the critical inverse-square potential 査読有り Open Access

Mizutani, H.

Journal of Differential Equations 263 巻 ( 7 ) 頁： 3832 - 3853 2017年

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記述言語：英語掲載種別：研究論文（学術雑誌）

DOI： 10.1016/j.jde.2017.05.006

Web of Science

Scopus
Strichartz Estimates for Non-Elliptic Schrödinger Equations on Compact Manifolds 査読有り

Mizutani, H., Tzvetkov, N.

Communications in Partial Differential Equations 40 巻 ( 6 ) 頁： 1182 - 1195 2015年

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記述言語：英語掲載種別：研究論文（学術雑誌）

DOI： 10.1080/03605302.2015.1010211

Web of Science

Scopus
Strichartz estimates for Schrödinger equations with variable coefficients and unbounded potentials II. Superquadratic potentials 査読有り

Mizutani, H.

Communications on Pure and Applied Analysis 13 巻 ( 6 ) 頁： 2177 - 2210 2014年

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記述言語：英語掲載種別：研究論文（学術雑誌）

DOI： 10.3934/cpaa.2014.13.2177

Web of Science

Scopus
Strichartz estimates for Schrödinger equations with variable coefficients and potentials at most linear at spatial infinity 査読有り Open Access

Mizutani, H.

Journal of the Mathematical Society of Japan 65 巻 ( 3 ) 頁： 687 - 721 2013年

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記述言語：英語掲載種別：研究論文（学術雑誌）

DOI： 10.2969/jmsj/06530687

Web of Science

Scopus
Strichartz estimates for schrödinger equations with variable coefficients and unbounded potentials 査読有り Open Access

Mizutani, H.

Analysis and PDE 6 巻 ( 8 ) 頁： 1857 - 1898 2013年

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記述言語：英語掲載種別：研究論文（学術雑誌）

DOI： 10.2140/apde.2013.6.1857

Web of Science

Scopus
Strichartz Estimates for Schrödinger Equations on Scattering Manifolds 査読有り Open Access

Mizutani, H.

Communications in Partial Differential Equations 37 巻 ( 2 ) 頁： 169 - 224 2012年

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記述言語：英語掲載種別：研究論文（学術雑誌）

DOI： 10.1080/03605302.2011.593017

Web of Science

Scopus
Dispersive estimates and asymptotic expansions for Schrödinger equations in dimension one 査読有り Open Access

Mizutani, H.

Journal of the Mathematical Society of Japan 63 巻 ( 1 ) 頁： 239 - 261 2011年

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記述言語：英語掲載種別：研究論文（学術雑誌）

DOI： 10.2969/jmsj/06310239

Web of Science

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MISC 8

Large-data modified wave operators for the defocusing nonlinear Schrödinger equation in one space dimension with subcritical long-range nonlinearity

Masaki Kawamoto, Haruya Mizutani

2026年9月

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We study long-time behavior of the solutions to the final state problem for the defocusing nonlinear Schrödinger equation (NLS) in one space dimension with the power nonlinearity $|u|^{2σ}u$ in the subcritical long-range regime $\frac{2}{\sqrt{7 } }<σ<1$. Given a prescribed asymptotic profile in a weighted $L^2$-space, without size restriction, obtained by modifying the free solution with a nonlinear polynomial phase correction, we construct a unique global solution of the NLS that scatters to this profile, thereby proving the existence of modified wave operators. The proof relies on two new ingredients. Extending our previous work for the cubic case, we incorporate the leading part of the nonlinear term into the linear part as a linear potential by linearizing the NLS around the asymptotic profile and prove a global modified energy estimate for the linearized equation. We also exploit a specific structure of the nonlinearity arising from the linearization, which gives rise to a crucial cancellation when estimating the nonlinear terms in the modified energy space and enables us to control the polynomial growth of the nonlinear phase correction in the subcritical case.

arXiv

その他リンク： https://arxiv.org/pdf/2609.12518v1
Scattering Theory For 3D Cubic Damped Magnetic Schrödinger Equation

Luca Fanelli, Haruya Mizutani, Yilin Song, Ying Wang, Jiqiang Zheng

2026年8月

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We consider the three-dimensional defocusing cubic nonlinear Schrödinger equation with variable coefficients, a magnetic potential, and a non-negative localized damping term, \[ i\partial_tu+(\nabla-iA)\cdot G(\nabla-iA)u+ia(x)u=|u|^2u, \qquad t>0,\quad x\in\mathbb R^3. \] No non-trapping condition is imposed on the metric $G$. Instead, the variable-coefficient region is assumed to be contained in the effective damping region. Under a one-centre condition on the tangential magnetic field, we prove global well-posedness for initial data in $H^{1+\varepsilon}$, uniform mass and energy bounds, and show the local energy decay. To obtain scattering, we impose a support condition on the full magnetic field inside the damping region. Under these stronger assumptions, the solution scatters to a free Schrödinger evolution in $H^s$ for every $0\le s<1$. The appendix discusses a separate constant-damping framework for abstract Hamiltonians.

arXiv

その他リンク： https://arxiv.org/pdf/2608.11834v1
Modified wave operators for the defocusing cubic nonlinear Schrödinger equation in one space dimension with large scattering data

Masaki Kawamoto, Haruya Mizutani

2025年6月

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In the present paper, we construct modified wave operators for the defocusing
cubic nonlinear Schr\"odinger equation (NLS) in one space dimension without
size restriction on scattering data. In the proof, we introduce a new
formulation of the problem based on the linearization of the NLS around a
prescribed asymptotic profile. For the linearized equation which is a system of
Schr\"odinger equations with non-symmetric, time-dependent long-range
potentials, we show a modified energy identity, as well as an associated energy
estimate, which allow us to apply a simple energy method to construct the
modified wave operators. As a byproduct, we also obtain in the focusing case an
improved explicit upper bound for the size of scattering data to ensure the
existence of modified wave operators. Our argument relies neither on the
complete integrability nor on the smoothness of nonlinearity, and also works
for short-range perturbations of the cubic nonlinearity.

arXiv

その他リンク： http://arxiv.org/pdf/2506.01871v1
Limiting absorption principle and absence of eigenvalues for massless Klein-Gordon operators on perturbations of the Minkowski spacetime

Haruya Mizutani

2023年12月

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We prove a uniform weighted resolvent estimate for the massless Klein-Gordon
operator on a curved spacetime which is sufficiently close to the Minkowski
spacetime. This particularly implies the existence and H\"{o}lder continuity of
the limiting resolvents at all energies, as well as the absolute continuity, of
the massless Klein-Gordon operator. The proof is based on a simple version of
Mourre's commutator method and does not rely on microlocal analysis. We also
prove the absence of eigenvalues via the Virial theorem under an ellipticity
condition on the commutator of the massless Klein-Gordon operator against the
generator of a wick-rotated dilation, which is weaker than the smallness
condition for the metric perturbation.

arXiv

その他リンク： http://arxiv.org/pdf/2312.15675v1
Modified scattering for inhomogeneous nonlinear Schrödinger equations with and without inverse-square potential

Kazuki Aoki, Takahisa Inui, Hayato Miyazaki, Haruya Mizutani, Kota Uriya

2021年1月

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We consider the final state problem for the inhomogeneous nonlinear
Schr\"odinger equation with a critical long-range nonlinearity. Given a
prescribed asymptotic profile, which has a logarithmic phase correction
compared with the free evolution, we construct a unique global solution which
converges to the profile. As a consequence, the existence of modified wave
operators for localized small scattering data is obtained. We also study the
same problem for the case with the critical inverse-square potential under the
radial symmetry. In particular, we construct the modified wave operators for
the long-range nonlinear Schr\"odinger equation with the critical
inverse-square potential in three space dimensions, under the radial symmetry.

arXiv

その他リンク： http://arxiv.org/pdf/2101.09423v1
Maciej Zworski: Semiclassical Analysis, Grad. Stud. Math., 138, Amer. Math. Soc., 2012年，xii+431ページ．

水谷治哉

数学68 巻 ( 4 ) 頁： 417 - 420 2016年

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記述言語：日本語出版者・発行元：一般社団法人日本数学会

CiNii Research
REMARKS ON STRICHARTZ ESTIMATES FOR SCHRODINGER EQUATIONS WITH POTENTIALS SUPERQUADRATIC AT INFINITY (スペクトル・散乱理論とその周辺 : RIMS研究集会報告集)

水谷治哉

数理解析研究所講究録1891 巻頁： 170 - 182 2014年4月

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記述言語：英語出版者・発行元：京都大学

CiNii Research

その他リンク： http://hdl.handle.net/2433/195789
Remarks on Strichartz estimates for Schrodinger equations on manifolds with ends (Harmonic Analysis and Nonlinear Partial Differential Equations)

MIZUTANI Haruya

数理解析研究所講究録別冊 = RIMS Kokyuroku Bessatsu42 巻頁： 33 - 49 2013年8月

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記述言語：英語出版者・発行元：京都大学

CiNii Research

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講演・口頭発表等 38

Large data modified wave operators for the 1D defocusing cubic NLS 招待有り

Haruya Mizutani

Mathematical Aspects of Physics with Non-Self-Adjoint Operators 2026年4月22日

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開催年月日： 2026年4月

会議種別：口頭発表（招待・特別）
Modified wave operators for nonlinear Schrodinger equations with long-range potentials 招待有り

Haruya Mizutani

Harmonic Analysis and its Interactions @ Nagoya 2026 2026年2月17日

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開催年月日： 2026年2月

会議種別：口頭発表（招待・特別）
Modified wave operators for the defocusing cubic nonlinear Schrödinger equation in one space dimension with large scattering data 招待有り

水谷治哉

12th East Asian Conference in Harmonic Analysis and Applications 2025年8月11日

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開催年月日： 2025年8月

会議種別：口頭発表（招待・特別）
Uniform Sobolev estimates for Schrödinger operators 招待有り

水谷治哉

TOPICS IN HARMONIC ANALYSIS - Intensive Lectures Series

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開催年月日： 2017年11月
Uniform Sobolev estimates for the resolvent of scaling-critical Schrödinger operators and applications 招待有り

水谷治哉

The 34th Kyushu Symposium on Partial Differential Equations 2017年1月30日
Uniform Sobolev estimates for Schrödinger operators with scaling-critical potentials, 招待有り

水谷治哉

微分方程式の総合的研究 2017年12月17日
Uniform Sobolev estimates for Schrödinger operators with scaling-critical potentials 招待有り

水谷治哉

Spectral and Scattering Theory and Related Topics 2017年12月6日
Uniform Sobolev estimates for Schrödinger operators with scaling-critical potentials 招待有り

水谷治哉

2017 Taiwan Mathematical Society Annual Meeting 2017年12月9日
Uniform resolvent estimates for Schrödinger operators with singular potentials and their applications 招待有り

水谷治哉

Seminaire: Problemes spectraux en physique mathematique 2016年6月6日
Uniform resolvent estimates for a few non-elliptic operators 招待有り

水谷治哉

Spectral and Scattering Theory - Mathematical Aspects of Quantum Mechanics 2024年6月25日

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記述言語：英語
Uniform resolvent and smoothing estimates for the Heisenberg sublaplacian 招待有り

水谷治哉

Himeji Conference on Partial Differential Equations 2025年3月5日
Strichartz estimates on manifolds with polynomially growing ends 招待有り

水谷治哉

Seminaire de lequipe MIP, Toulouse III University 2013年2月19日
Strichartz estimates for Schrödinger equations with variable coefficients and unbounded potentials 招待有り

水谷治哉

微分方程式の総合的研究 2011年12月18日
Strichartz estimates for Schrödinger equations with variable coefficients and unbounded potentials 招待有り

水谷治哉

Seminaire Geometrie, EDP et Physique Mathematique 2013年2月13日
Strichartz estimates for Schrödinger equations with variable coefficients and unbounded potentials 招待有り

水谷治哉

Scattering Theory, An International Workshop in Tokyo 2011年6月22日
Strichartz estimates for Schrödinger equations with slowly decaying potentials 招待有り

水谷治哉

スペクトル散乱理論とその周辺 2020年12月2日
Strichartz estimates for Schrödinger equations with slowly decaying potentials 招待有り

水谷治哉

Critical exponent and nonlinear evolution equations 2019 2019年2月22日
Strichartz estimates for Schrödinger equations with slowly decaying positive poten- tials 招待有り

水谷治哉

2019 Zhuhai PDE Workshop 2019年3月11日
Strichartz estimates for Schrödinger equations with long-range potentials 招待有り

水谷治哉

Harmonic Analysis and its Applications 2023 2023年8月29日

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会議種別：口頭発表（一般）
Strichartz estimates for Schrödinger equations on manifolds with ends 招待有り

水谷治哉

Lectures on Semi-Classical Analysis 2014年7月4日
Remarks on Strichartz estimates for Schrödinger equations with potentials superquadratic at infinity 招待有り

水谷治哉

Spectral and Scattering Theory and Related Topics 2012年12月14日
Remarks on Strichartz estimates for Schrödinger equations on manifolds with ends 招待有り

水谷治哉

Harmonic Analysis and Nonlinear Partial Differential Equations 2012年7月3日
Remarks on endpoint Strichartz estimates for Schrödinger equations with inverse-square potentials 招待有り

水谷治哉

Nonlinear Partial Differential Equations for Future Applications “Hyperbolic and Dispersive PDE” 2017年7月24日
On Strichartz estimates for the Schrödinger equation with decaying potentials 招待有り

水谷治哉

2018 Taiwan-Japan Workshop on Scattering, Dispersion, Traveling Waves, and Inverse Problems 2018年6月17日
Modified wave operators for the defocusing cubic nonlinear Schrödinger equation in one space dimension with large scattering data 招待有り

水谷治哉

International Workshop on “Fundamental Problems in Mathematical and Theoretical Physics” 2025年7月26日
Modified scattering for nonlinear Schrödinger equations with linear long-range potentials 招待有り

水谷治哉

The 49th Sapporo Symposium on Partial Differential Equations 2024年8月20日
Kato–Yajima and Strichartz estimates for fractional and higher-order Schrödinger equations with Hardy potential 招待有り

水谷治哉

Harmonic Analysis and Wave Phenomena 2021年8月10日
Global-in-time Strichartz estimates for Schrödinger equations on long-range asymptotically conic manifolds 招待有り

水谷治哉

Tokyo–Berkeley Mathematics Workshop “Partial Differential Equations and Mathematical Physics” 2017年1月9日
Existence of wave operators on Sobolev spaces 招待有り

水谷治哉

第15回非線型の諸問題 2019年9月12日
Eigenvalue bounds for non-self-adjoint Schrödinger operators with the inverse square potential 招待有り

水谷治哉

Mathematical Aspects of Physics with Non-Self-Adjoint Operators, CIRM 2017年6月3日
1次元4 階シュレディンガー方程式に対する波動作用素のL^p有界性招待有り

水谷治哉

偏微分方程式の解の特異性とその周辺 2023年1月12日
$L^p$-boundedness of wave operators for fourth-order Schrodinger operators in one space dimension, 招待有り

水谷治哉

Harmonic Analysis and Nonlinear Partial Differential Equations 2022年7月11日

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会議種別：口頭発表（招待・特別）
Uniform Sobolev Estimates for the Resolvent of Scaling-Critical Schrödinger Operators and Applications 招待有り

水谷治哉

Himeji Conference on Partial Differential Equations 2017年3月6日
変数係数シュレディンガー方程式に対するストリッカーツ評価について招待有り

水谷治哉

日本数学会年会, 函数方程式論分科会特別講演 2014年3月15日
ポテンシャルを伴うシュレディンガー方程式のストリッカーツ評価について招待有り

水谷治哉

RIMS共同研究（グループ型A）「量子散乱における順問題と逆問題の新展開」 2022年9月20日

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会議種別：口頭発表（招待・特別）
ポテンシャルを伴うシュレディンガー方程式に対する時間大域的ストリッカーツ評価招待有り

水谷治哉

日本数学会秋季総合分科会函数解析学分科会 2021年9月14日

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会議種別：口頭発表（招待・特別）
Wave operator on Sobolev space 招待有り

水谷治哉

International Workshop on “Fundamental Problems in Mathematical and Theoretical Physics” 2019年7月26日
Uniform Sobolev inequalities for Schrödinger operators and applications 招待有り

水谷治哉

Interna- tional Conference for the 70th Anniversary of Korean Mathematical Society 2016年10月22日

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共同研究・競争的資金等の研究課題 4

一般化シュレディンガー方程式に対する実解析的評価式と非線形分散型方程式への応用

研究課題番号：21K03325 2021年4月 - 2026年3月

科学研究費助成事業基盤研究(C) 基盤研究(C)

水谷治哉

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配分額：4030000円（直接経費：3100000円、間接経費：930000円）

研究計画に基づき、以下の2点について研究を行なった。
1. 分数階および高階のシュレディンガー作用素に臨界なハーディー型ポテンシャルを摂動した自己共役作用素に対する幾つかの大域的性質を証明した。まず、Mourre 理論を用いて加藤-谷島型レゾルベント評価を証明し、これと滑らかな摂動論を組み合わせることで加藤型平滑化作用およびストリッカーツ評価を示した。さらに、レゾルベント方程式を用いて一様ソボレフ評価等も証明した。これは通常のシュレディンガー作用素に対する先行研究を大幅に拡張、統一化する結果である。さらに、今後の研究計画で予定している非線形問題においても本質的な役割を果たすと考えている。この結果は国際論文雑誌「Communications in Mathematical Physics」に掲載済みである。
2. 4階シュレディンガー作用素を空間1次元において考察し、ゼロレゾナンスの存在・非存在に関わらず端点指数を除いて波動作用素がLp有界であることを示した。さらに、一般の対称なMuckenhoupt重みに対する重みつき有界性や端点指数における有界性の破綻および弱い意味での有界性など、既存研究では扱われていないような、より精密な性質も証明した。さらに、ゼロレゾナンスがない場合に、波動作用素の有界性・非有界性について完全な分類を得た。これは今後の研究計画に対して基礎となる結果である。この結果は論文にまとめ現在投稿中である。
非線形波動方程式の大域ダイナミクス

研究課題番号：17H02854 2017年4月 - 2022年3月

科学研究費助成事業基盤研究(B) 基盤研究(B)

中西賢次, 水谷治哉, 眞崎聡

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担当区分：研究分担者

配分額：12090000円（直接経費：9300000円、間接経費：2790000円）

眞崎は質量劣臨界の非線形 Schrodinger 方程式について、球対称で負の斉次 Sobolev 空間に入る解を調べた。反発性非線形項の場合は、臨界ノルムが有界な大域解の漸近挙動は散乱で与えられることを示し、集約性の場合は、臨界ノルムの大域上界が最小となる非散乱解を構成し、その解軌道がプレコンパクトであることを示した。また、吸引的なデルタポテンシャルを持つ１次元非線形 Schrodinger 方程式について、小さい初期値に対するソリトン分解定理、即ち時刻無限大でソリトンと散乱波の和に漸近することを示した。
水谷はポテンシャル付き非線形 Schrodinger 方程式のエネルギー散乱への応用を念頭に、線形散乱において (修正) 波動作用素が L2 上で存在する場合に Sobolev 空間上でも存在するための十分条件を抽象的な枠組で導出した。例えば１階の Sobolev 空間の場合、この条件は臨界特異性を持つ短距離型、滑らかな長距離型、一次元点相互作用等のポテンシャルを含み、更に Schrodinger 方程式以外の分散型方程式にも適用できる。
中西は４次元 Zakharov 系に対する大域ダイナミクスの結果を球対称から一般解へ拡張する為、大域 Strichartz 評価の証明枠組を解作用素展開とプロファイル分解の観点から簡素化し、また鍵となる双線形評価を得た。量子効果付き Zakharov 系に対しては L2 解の初期値問題を考察し、局所・大域適切性および散乱について、成立する空間次元に関して古典系より大幅に改善されることを示した。他方、２次元のエネルギー臨界である二乗指数型非線形項の熱方程式に対して初期値問題の強解一意性の崩れを示し、関連する Trudinger-Moser 不等式に対して、最大化元の存在・非存在を分ける非線形項の境界を、第３項まで具体的な漸近展開で与えた。
シュレディンガー方程式に対するスケール臨界な大域挙動の定量的解析

研究課題番号：17K14218 2017年4月 - 2021年3月

科学研究費助成事業若手研究(B) 若手研究(B)

水谷治哉

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担当区分：研究代表者資金種別：競争的資金

配分額：4030000円（直接経費：3100000円、間接経費：930000円）

前年度に引き続き、空間3次元以上でスケール臨界なルベーグ空間に属するポテンシャルを伴ったシュレディンガー作用素の定常問題の大域的性質の解析とその初期値問題およびスペクトル理論への応用を行った。まず、ゼロ固有値とゼロレゾナンスの非存在のもとで、Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式の非ゼロエネルギーへの拡張である自由レゾルベントに対する一様ソボレフ不等式を一般のスケール臨界なポテンシャルを持つシュレディンガー作用素に拡張することに成功した。これは以下の3つの点から前年度の結果と比べて大幅な進歩である： (i) 重み付き評価と比べて一様ソボレフ不等式は遥かに精密であること。(ii) ポテンシャルのグラフに対する幾何条件を一切仮定していないこと。(iii) これまでは重み付き空間で考察されていたゼロレゾナンスを斉次ソボレフ空間（あるいはルベーグ空間）で特徴づけることで、次元に依存しない統一的取り扱いを可能にしたこと。
さらに、この結果を応用として、以下の3つを得た：
(1) 同様のポテンシャルを伴うシュレディンガー方程式の初期値問題に対する、非斉次端点評価および非許容対に対する評価(いわゆる exotic 評価) を含む時間大域的な Strichartz 評価および加藤型平滑化作用。(2) 同様のポテンシャルを伴う非負シュレディンガー作用素の関数（スペクトル掛け算作用素）に対する Mikhlin-Hormander 型の有界性定理。(3) 同様のポテンシャルおよび複素ポテンシャルを伴う非自己共役シュレディンガー作用素の固有値のスペクトル半径に対する Keller 型評価。
これらの結果は次年度以降の計画に予定している、非線形散乱への応用および非自己共役シュレディンガー作用素のスペクトル解析に向けて基本的となる。
シュレディンガー方程式の解の定性的・定量的解析

研究課題番号：25800083 2013年4月 - 2018年3月

科学研究費助成事業若手研究(B) 若手研究(B)

水谷治哉

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担当区分：研究代表者資金種別：競争的資金

配分額：4030000円（直接経費：3100000円、間接経費：930000円）

量子力学的粒子の時間発展を記述するシュレディンガー方程式に対して解析を行った。特に、電磁場ポテンシャルの性質（特異性、無限遠での挙動など）や古典力学系の幾何学的構造（ハミルトン流の漸近挙動、捕捉・非捕捉性など）が与える影響について、初期値問題の解の時空間大域的なノルム不等式を通して、その定性的かつ定量的な解析を行った。なかでも、漸近的平坦リーマン計量および非有界な電磁場ポテンシャルを同時に扱う統一的手法を開発し、その結果として微分のロスを含まないストリッカーツ評価の証明に成功した。

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科研費 3

ゼロレゾナンスを持つシュレディンガー方程式に対する時空間評価式の研究

研究課題/研究課題番号：26K22272 2026年6月 - 2029年3月

日本学術振興会科学研究費助成事業挑戦的研究(萌芽)

水谷治哉

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担当区分：研究代表者

配分額：6110000円（直接経費：4700000円、間接経費：1410000円）

本研究計画では、定常シュレディンガー方程式がゼロレゾナンスと呼ばれる一般化ゼロ固有値を持つ場合に、時間依存シュレディンガー方程式の解の時間大域挙動の解析を行う。特に、ゼロレゾナンスの有無と局所平滑化効果およびストリッカーツ評価と呼ばれる初期値問題の解に対する時空間ノルム不等式の成立・不成立との関係性について考察する。また、対応する一般化ゼロ固有関数（ゼロレゾナンス状態と呼ばれる）が明示的表現をもついくつかのモデル方程式に着目する。
多体量子問題に現れる非線形分散型・波動方程式に対する長距離散乱理論の新展開

研究課題/研究課題番号：26K00612 2026年4月 - 2030年3月

日本学術振興会科学研究費助成事業基盤研究(B)

水谷治哉, 深谷法良, 川本昌紀, 宮崎隼人, 戍亥隆恭

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担当区分：研究代表者

配分額：18460000円（直接経費：14200000円、間接経費：4260000円）

本研究では多体量子問題の非線形近似モデルとして現れる非線形分散型方程式に対する解の漸近挙動の解析を行う。具体的には第一に、線形ポテンシャルおよび非線形項がどちらも解の漸近挙動に無視できない影響を与える長距離型の場合に、初期値問題および終値問題における修正散乱理論を確立する。第二に、線形部分が負のエネルギーの固有値をもつ非線形 Klein-Gordon 方程式のように、線形方程式が時間増大する不安定解を持つ場合に、反発型非線形相互作用の分散性による系の安定化を定式化し、解の時間大域漸近挙動を明らかにする。
非線形分散型方程式における分散効果と非線形項効果の均衡・調和に関する研究

研究課題/研究課題番号：24K00529 2024年4月 - 2028年3月

日本学術振興会科学研究費助成事業基盤研究(B)

眞崎聡, 水谷治哉, 瓜屋航太, 山崎陽平

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担当区分：研究分担者

本研究では, 非線形分散型方程式に対する解の時間大域挙動についての研究を行う。解の時間大域挙動は線形分散効果と非線形効果の均衡・調和によって様々な様相を呈する。
本研究ではその均衡・調和のメカニズムについての理解を深めたい。これを達成するため (い) 線形ポテンシャルの摂動により安定基底状態解と不安定第一励起状態解という二つの均衡状態をもつ状況における解の時間大域挙動の遷移に関する研究と、(ろ) 連立系における非線形項の構造およびその結果として生まれる調和の様子の多様性について連立系を分類するという手段でその全体像の把握を試みる研究の二つを行う。
本研究課題では、非線形分散型方程式における分散性と非線形性の二つの効果がなす様々な様相について明らかにすることを目的としている。具体的な課題として（１）線形ポテンシャルをもつNLSのソリトン解周りでの解の解析（２）連立系における非線形性の様相の多様性理解を設定している。
今年度は二つ目の課題において大きな進展があった。非線形性分散型方程式においては、完全可積分系と呼ばれる方程式群がある。分散性と非線形性の間に非常に特殊な関係がある場合と理解することができ、逆散乱法による解の詳細が可能である。近年新しい保存則の構成法が発見され、適切性理論において大きな進展があり注目が集まっている。今年度は2成分の方程式系の可積分性を明らかにし、可積分となる系の標準形を特定するという結果が得られた。この結果はまだ論文として出版されていないが、年度内にプレプリントとしてまとめた。この結果のほかにも、長距離型NLS方程式系の漸近挙動に関して、漸近挙動を記述するODE系に関する新しい保存則を導出することでこれまで知られていなかったいくつかの系に対して漸近挙動を明らかにした。それらは2本のプレプリントとしてまとめた。また、国際研究集会で研究発表を行った。
ソリトン解周りの解の解析については、分担者の山崎氏が内部モードをもつ場合の基底状態解まわりの安定多様体の構成を行った。
また、当初の計画には含まれていなかった、非ゲージ不変な方程式の適切性理論に関しても重要な結果が得られた。このような方程式の散乱については時空間共鳴と呼ばれる手法が一般的である。しかし、この手法は多項式型非線形項にしか適用できない。一方、この研究で得られた手法は非多項式型にも適用できるものである。
設定した二つの研究の方向性それぞれについて一定の成果が得られている。特に、方程式系の分類については、常微分方程式系に対する新しい保存則の導出によってこれまで知られていなかった系の漸近挙動を明らかにするという当初の計画に沿った結果に加えて、当初計画にはなかった完全可積分性に関する分類の結果も得られた。この新しい方向の研究は上述の漸近挙動に関する研究を国際研究集会で発表した際に、当該分野の国際的な研究の進展状況をうけて創出されたものである。
また、非ゲージ不変な方程式の研究については、当初の予定にはなかったものである。長時間挙動の解析の際に用いられる手法のアイデアを発展させて得られた結果である。想定以上の良い結果が得られた。実際にこの研究は高い評価を受け、良い雑誌から出版されることとなった。
このように、当初の予定に沿った研究について一定の成果が得られており、さらに予定にはなかった新しい方向性での研究についても良い結果が得られた。以上から、当初の計画以上に進展していると判断した。なお、当初の計画はあくまで申請段階において最良と思われた研究の道筋であり、その後に得られた知見や業界全体の推移などにも影響を受けつつ発展的に修正されるべきものであると考えている。今回の新しい方向性の萌芽はこの理想的な形のものといえる。
なお、業績とした論文は今年度内に出版されたものである。当該科研費に関する記述がないものも含まれているが、これらは出版までに長い時間を要する数学分野の特徴によるものである。これらの報告した論文の研究内容は本研究課題の準備として位置づけられるものであるためここで報告する。
今年度は当初の計画の二つ目の研究課題について大きな進展が得られた。来年度は一つ目の研究課題について研究を進展させたい。この方向の研究を効果的に進めるため山崎氏との連携を強化する。そのための具体的な手段として、研究打ち合わせだけでなく山崎氏を招聘しての勉強会を開催する。また、当初予定して国際研究集会を開催して、さらなる研究の促進を図る。
また、今年度の研究を通して新しく創出された（１）完全可積分となるNLS系の解析、および（２）非ゲージ不変なＮＬＳ方程式に関する散乱理論、についてもこの研究課題の目標と合致するものであるため引き続き推進したい。
一つ目については得られた可積分ＮＬＳ系の性質を調べることが重要である。こちらを今後の研究課題のひとつと設定する。二つ目については、現在は新しいアイデアが生まれたばかりであるので、それらの技術の精密化や応用可能性について調べることが重要である。これらを研究課題に設定する。
なお、当初の計画の二つ目に挙げていた複素数係数のＮＬＳ系の分類については、他のグループの研究により進展があった。特に、この方向の第一歩目として考えられる部分については先を越されてしまった形となった。この進展について精査し、適切に計画を修正する。

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学術貢献活動 15

The 22nd Linear and Nonlinear Waves

役割：企画立案・運営等

2025年11月

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種別：学会・研究会等
Japan–Spain Forum for PDEs and their applications -Asymptotic analysis and blow-up phenomena-

役割：企画立案・運営等

2025年8月

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種別：学会・研究会等
RIMS Symposia (open), Spectral and Scattering Theory and Related Topics

役割：企画立案・運営等

2024年12月

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種別：学会・研究会等
The 21st Linear and Nonlinear Waves

役割：企画立案・運営等

2024年11月

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種別：学会・研究会等
第45 回発展方程式若手セミナー

役割：企画立案・運営等

水谷治哉 2024年8月

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種別：学会・研究会等
The 20th Linear and Nonlinear Waves

役割：企画立案・運営等

2023年11月

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種別：学会・研究会等
スペクトル・散乱待兼山シンポジウム

役割：企画立案・運営等

2023年1月

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種別：学会・研究会等
The 19th Linear and Nonlinear Waves

役割：企画立案・運営等

2022年11月

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種別：学会・研究会等
The 18th Linear and Nonlinear Waves

役割：企画立案・運営等

2021年11月

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種別：学会・研究会等
オンラインワークショップ「分散型方程式と実解析」

役割：企画立案・運営等

2020年12月

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種別：学会・研究会等
The 17th Linear and Nonlinear Waves

役割：企画立案・運営等

2019年10月

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種別：学会・研究会等
The 16th Linear and Nonlinear Waves

役割：企画立案・運営等

2018年10月 - 2018年11月

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種別：学会・研究会等
RIMS Workshop「スペクトル解析におけるスケール不変構造と摂動論の新展開」

役割：企画立案・運営等

水谷治哉 2018年9月

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種別：学会・研究会等
The 15th Linear and Nonlinear Waves

役割：企画立案・運営等

2017年11月

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種別：学会・研究会等
京都大学数理解析研究所共同研究「線形および非線形分散型方程式の研究」

役割：企画立案・運営等

2015年5月

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種別：学会・研究会等

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