担当区分：研究代表者 

配分額：4290000円 （ 直接経費：3300000円 、 間接経費：990000円 ）

マッカイ対応とは，n 次一般線形群の有限部分群 Gに対して，アフィンn次元空間のGによる商特異点の特異点解消の幾何学と，G の表現論との間に成立すると期待される対応であり，次元の低い場合にはすでに確立されている. McKay 対応の定式化としてはいくつかのものが考えられるが，本研究では二つの導来圏の間の圏同値として対応を記述するものを想定している．本研究は，導来圏同値としてのマッカイ対応を拡張するとともに，代数多様体の導来圏の構造について，具体例を通じて明らかにしようとするものである．
マッカイ対応の拡張に関する中村郁氏との共著論文で電子版出版済みのものが冊子体でも出版された. Alvaro Nolla 氏と植田一石氏との共同で群作用付きのダイマー模型に関する研究をまとめた論文を論文誌に投稿した. 群作用つきダイマー模型を考えることにより，ゴレンシュタインアフィントーリック多様体の商に対して非可換クレパント解消が構成できる．それが任意の格子多角形とそれに対する有限群作用（格子点を固定するもの）に対して可能であることを示した，というものである．トーリックでも商特異点でもないような特異点に対して非可換クレパント解消を構成したのである．
Hirzebruch 曲面 Σ2 上の exceptional collection について，上原北斗氏および大川新之助氏と共同研究 を行った. この曲面上では，Del Pezzo 曲面の場合と異なり，(－2)-曲線の存在により exceptional object は層とは限らない. この研究では，そのような複雑な状況を解明することにより，まず，任意の exceptional object が(－2)-曲線上の直線束による spherical twist の繰り返しでベクトル束になることを示した．さらに，任意の exceptional collection が (－2)-曲線上の直線束による spherical twist の繰り返しで簡単になる こともわかった. そして，充満例外列を，mutation によって標準的なものにできることもわかった.
特に例外生成系の研究において，これまで調べることのできていなかった weak Del Pezzo surface の場合について様子がわかった意義は大きい．
今後も引き続き大川氏，上原氏，植田氏，Nolla 氏を始めとする研究協力者たちと連絡を取りながら進める予定である．ただし，コロナウイルス蔓延により，教育上の負担が増え直接会って研究打ち合わせすることもできない中で，オンラインによる研究会や打ち合わせをうまく利用して研究を進めて行くつもりである．

担当区分：研究分担者 

研究代表者は高次元商特異点の研究をメインに行った．特異点セミナーを毎週開催し，高次元のクレパントな特異点解消の構成について，小山高専の佐藤宏平氏，大学院生の佐藤悠介氏と議論した．京大数理研の荒川知幸氏と特異点の問題と表現論との関わりについて議論した．ポスドクの山岸亮氏と中嶋祐介氏も参加した，また韓国KIASのSeung-Jo Jung氏とともに特異点解消とマッカイクイバーの表現のモジュライについて勉強し，さらに新しい問題について議論した.
研究分担者の石井亮氏は、Alvaro Nolla 氏と植田一石氏との共同で群作用付きのダイマー模型に関する研究をまとめた論文を論文誌に投稿した．Hirzebruch 曲面上の exceptional collection について，上原北斗氏および大川新之助氏と共同研究を行った．この研究では，任意の exceptional collection が (-2)-曲線上の直線束による spherical twist で簡単になることがわかった．さらに，mutation によって標準的なものにできることもわかった．
研究分担者の伊山修氏は、 Jin との共同研究で, Dynkin 箙の (－d) 団圏における d 単純系の個数が, 組み合わせ論で重要な正 Fuss-Catalan 数で与えられることを示した.
また、３次元類似を cDV 特異点に対して Wemyss との共同研究で与えた. cDV 特異点の modifying 加群の同型類の集合から, 拡大 Dynkin 型の部分 Tits cone 内の格子点への単射を構成し, 孤立特異点ならば全単射となることを示した. さらに Buchweitz, Hille との共同研究で, 射影代数多様体上のベクトル束の圏の団傾部分圏を研究した.
また3人で，研究集会を計画した．
それぞれの研究はほぼ順調に進んでいたが、研究代表者が名古屋大学から完全に東京大学カブリ数物連携宇宙研究機構にうつったため、他の研究分担者との交流が少し減ってしまった。ただし、2020年度に開催する研究集会についての計画企画を行っていたため、2020年7月にカブリ数物連携宇宙研究機構で講演する人を選び、準備を進めるところまでは順調であった。しかし、2月から新型コロナウイルス対策による集会の中止や延期があったが、ここまではおおむね順調に進展している。
2020年度に東京大学カブリ数物連携宇宙研究機構にて、国際研究集会を大々的に開催する予定であったが、新型コロナウイルスの影響で、予定通りの開催は難しくなってしまった。その代わりに、オンラインでの集会を開催し、できたら報告集も作る予定である。この集会が開催できないので、2年後の2022年に国際研究集会を開催すべく、今後の予定調整などをしていく予定である。それまではオンラインでのやり取りが主になるかもしれないが、定期的に国際的なオンラインセミナーを開催しようと思っている。

担当区分：研究代表者 

配分額：4680000円 （ 直接経費：3600000円 、 間接経費：1080000円 ）

(1) 2 次元商特異点に関する，いわゆる special McKay 対応の大域化について，中村郁氏と共同で研 究し，記述することができた．
(2) ２次元商特異点に対して，その特異点解消のうち，いわゆる最大特異点解消により支配されるものを，G-constellation のモジュライ空間として特徴付けることができた．
(3) 群作用付きダイマー模型について植田一石氏，Alvaro Nolla 氏と研究し，格子多角形の対称性により得られる３次元アフィントーリック多様体の商の非可換クレパントの構成に成功した．
(1) これまで知られていたことに対し，より深い洞察を与えることができた．
(2) これまで違う文脈で出てきた二つの概念を結びつけるとともに，導来圏に関する一般的な予想とよく適合する結果である．
(3) 群の作用を考えることで，これまでの結果を一般化するとともに，新しい例の構成に成功した．