所属
大学院多元数理科学研究科 多元数理科学専攻 自然数理 教授
大学院担当
大学院多元数理科学研究科
学部担当
理学部 数理学科
職名
教授
イシイ アキラ
石井 亮
ISHII Akira
学位 1
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博士（理学） （ 2000年1月 京都大学 ）
委員歴 1
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日本数学会 代数学分科会運営委員会委員
2023年4月 - 現在
団体区分：学協会
論文 18
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Dimer models and group actions
Ishii, A; Nolla, A; Ueda, K
MATHEMATISCHE ZEITSCHRIFT 306 巻 ( 1 ) 2024年1月
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G-constellations and the maximal resolution of a quotient surface singularity Open Access
Ishii, A
HIROSHIMA MATHEMATICAL JOURNAL 50 巻 ( 3 ) 頁： 375 - 398 2020年11月
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Extended McKay correspondence for quotient surface singularities Open Access
Ishii, A; Nakamura, I
QUARTERLY JOURNAL OF MATHEMATICS 70 巻 ( 2 ) 頁： 395 - 408 2019年6月
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Dimer models and crepant resolutions 査読有り
Akira Ishii, Kazushi Ueda
Hokkaido Math. J. 45 巻 ( 1 ) 頁： 1--42 2016年
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Dimer models and the special McKay correspondence 査読有り
Akira Ishii, Kazushi Ueda
Geom. Topol. 19 巻 ( 6 ) 頁： 3405--3466 2015年
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The special McKay correspondence and exceptional collections 査読有り
Akira Ishii, Kazushi Ueda
Tohoku Math. J. 67 巻 ( 4 ) 頁： 585--609 2015年
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On G/N-Hilb of N-Hilb 査読有り
Akira Ishii, Álvaro Nolla de Celis, Yukari Ito
Kyoto J. Math. 53 巻 ( 1 ) 頁： 91--130 2013年
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A note on derived categories of Fermat varieties 査読有り
Akira Ishii, Kazushi Ueda
Derived categories in algebraic geometry, EMS Ser. Congr. Rep. 頁： 103--110 2012年
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A note on consistency conditions on dimer models 査読有り
Akira Ishii, Kazushi Ueda
RIMS Kôkyûroku Bessatsu B24 巻 頁： 143--164 2011年
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Stability conditions on An-singularities 査読有り
Akira Ishii, Kazushi Ueda, Hokuto Uehara
J. Differential Geom. 84 巻 ( 1 ) 頁： 87--126 2010年
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On moduli spaces of quiver representations associated with dimer models. 査読有り
Akira Ishii and Kazushi Ueda
RIMS Kôkyûroku Bessatsu B9 巻 頁： 127--141 2008年
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Autoequivalences of derived categories on the minimal resolutions of An-singularities on surfaces. 査読有り
Akira Ishii, Hokuto Uehara
J. Differential Geom. 71 巻 ( 3 ) 頁： 385--435 2005年
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Representation moduli of the McKay quiver for finite abelian subgroups of SL(3,C). 査読有り
Akira Ishii
Clay Math. Proc. 3 巻 頁： 227--237 2004年
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Flops of G-Hilb and equivalences of derived categories by variation of GIT quotient. 査読有り
Akira Ishii, Alastair Craw
Duke Math. J. 124 巻 ( 2 ) 頁： 259--307 2004年
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On the McKay correspondence for a finite small subgroup of GL(2,C) 査読有り
Akira Ishii
J. Reine Angew. Math. 549 巻 頁： 221--233 2002年
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Versal deformation of reflexive modules over rational double points 査読有り
Akira Ishii
Math. Ann. 317 巻 ( 2 ) 頁： 239--262 2000年
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Semi-universal family of reflexive modules over a rational double point of type A 査読有り
Akira Ishii
Lecture Notes in Pure and Appl. Math. 179 巻 頁： 65--77 1996年
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On the moduli of reflexive sheaves on a surface with rational double points 査読有り
Akira Ishii
Math. Ann. 294 巻 ( 1 ) 頁： 125--150 1992年
書籍等出版物 1
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McKay correspondence, mutation and related topics
伊藤 由佳理, 石井 亮 (数学), 伊山 修（ 担当： 編集）
Mathematical Society of Japan 2023年 （ ISBN:9784864970983 ）
講演・口頭発表等 4
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On the McKay correspondence for some reflection groups in dimension three 招待有り 国際会議
Akira Ishii
Perspectives in Tilting Theory and Related Topics 2025年2月17日 Sota Asai, Aaron Chan, Osamu Iyama, Mayu Tsukamoto
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On the McKay correspondence for some reflection groups 1 招待有り 国際会議
Akira Ishii
Japanese-European Symposium on Symplectic Varieties and Moduli Spaces 8th edition 2024年9月17日
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On the McKay correspondence for some reflection groups 2 招待有り 国際会議
Akira Ishii
Japanese-European Symposium on Symplectic Varieties and Moduli Spaces 8th edition 2024年9月19日
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On the McKay correspondence for some reflection groups 招待有り 国際会議
Akira Ishii
Workshop on Tropical Geometry, Singularity theory, and Algebraic Geometry 2024年9月12日 Yoshinori Gongyo, Yusuke Nakamura, Kohei Sato, JuAe Song
科研費 3
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研究課題/研究課題番号：19K03444 2019年4月 - 2025年3月
科学研究費助成事業 基盤研究(C)
石井 亮
担当区分：研究代表者
配分額：4290000円 （ 直接経費：3300000円 、 間接経費：990000円 ）
マッカイ対応とは，n 次一般線形群の有限部分群 Gに対して，アフィンn次元空間のGによる商特異点の特異点解消の幾何学と，G の表現論との間に成立すると期待される対応であり，次元の低い場合にはすでに確立されている. McKay 対応の定式化としてはいくつかのものが考えられるが，本研究では二つの導来圏の間の圏同値として対応を記述するものを想定している．本研究は，導来圏同値としてのマッカイ対応を拡張するとともに，代数多様体の導来圏の構造について，具体例を通じて明らかにしようとするものである．
複素鏡映群に対するマッカイ対応に関連する導来圏の半直交分解について考察した．一般に有限群Gによる商特異点について，特異点解消の幾何学と群の表現論を結びつけるような対応がある時，その対応はマッカイ対応と呼ばれる．これまで行列式が１の行列のなす有限群の場合や，作用が余次元１で自由な場合が考察されてきたが，商多様体と因子の組を考えることで，それ以外にも拡張可能である場合がある．複素鏡映群の場合には商多様体は非特異であるが，その上の判別式因子を組にして考えることになる．特に3次元の実鏡映群のいくつかの場合にはその組のクレパント解消が存在することを確認していたが，それらクレパント解消から商多様体へ至る（多様体と因子の組の）極小モデルプログラムを記述することにより，クレパント解消とその上の因子の組に付随するDMスタックの導来圏の半直交分解を記述することができた．3次元の場合には鏡映群の場合にも導来マッカイ対応がこのDMスタックと同変連接層の導来圏の間の圏同値として成立するので，同変連接層の導来圏にも半直交分解ができたことになるが，この記述は Polishchuk-Van den Bergh の予想をそれらの場合に確かめたことになる．
その他，投稿していた群作用つきダイマー模型についての共著論文の査読が終わり，若干の修正を経て無事出版された．また，ダイマー模型に付随する箙の表現のモジュライ空間について，いわゆる "0-generated stability" を安定性として採用した場合に考えられる格子凸多角形についての操作について，Craw氏及び大学院生と議論した．
コロナ禍の影響は少なくなり，12月にはアブリIPMUで国際研究集会を開催することもできた．そこで各国から集まった研究者と議論することにより，研究の方向性についてのアイデアを得ることができた．その他に，3次元の鏡映群に対するMcKay対応の定式化ができ，実際にいくつかの場合に成立することが確認できた．2次元の複素鏡映群の場合の研究も，大学院生の協力を得ながら進んでいる．
複素鏡映群から定まる(滑らかな)商多様体と因子の組から定まる最大特異点解消について，その導来圏の半直交分解を考察する．当面は3次元以下の場合に Polishchuk-Van den Bergh の予想の解決を目指す．それを元にして，より一般に複素鏡映群の導来 McKay 対応としてどのようなことが言えるべきかを考察する． -
研究課題/研究課題番号：18K03209 2018年4月 - 2024年3月
科学研究費助成事業 基盤研究(C)
伊藤 由佳理, 石井 亮, 伊山 修
担当区分：研究分担者
研究代表者の伊藤は、有限群Gの商特異点の特異点解消が得られる際に、特異点解消の例外集合と対応する既約表現の特徴づけを行い、研究分担者の石井は商特異点のダイマー模型、Hrizebruch曲面のexceptional correctionについての研究を行い、研究分担者の伊山は2018年の国際数学者会議(ICM2018)で招待講演をし、三角圏の傾理論や団傾理論、AR倫論についての研究を行った。また2018年、2020年、202３年に国際研究集会を開催し、2023年4月には本研究課題に関連した論文集を刊行した。
本研究課題の成果のうち、伊藤と石井は、2次元で知られているMcKay対応の3次元への一般化について、導来圏や新たに定義したessential representation、ダイマー模型を用いて研究をし、伊山は多元環の表現論の研究を発展させた点が数学の代数幾何学における学術的意義である。また上記の出版論文集には、サーベイも含まれ、本研究課題周辺を新たに勉強したい学生や研究者の教科書ともなる有意義な一冊である。 -
特異点と導来圏
研究課題/研究課題番号：15K04819 2015年4月 - 2019年3月
石井 亮
担当区分：研究代表者
配分額：4680000円 （ 直接経費：3600000円 、 間接経費：1080000円 ）
(1) 2 次元商特異点に関する，いわゆる special McKay 対応の大域化について，中村郁氏と共同で研 究し，記述することができた．
(2) ２次元商特異点に対して，その特異点解消のうち，いわゆる最大特異点解消により支配されるものを，G-constellation のモジュライ空間として特徴付けることができた．
(3) 群作用付きダイマー模型について植田一石氏，Alvaro Nolla 氏と研究し，格子多角形の対称性により得られる３次元アフィントーリック多様体の商の非可換クレパントの構成に成功した．
(1) これまで知られていたことに対し，より深い洞察を与えることができた．
(2) これまで違う文脈で出てきた二つの概念を結びつけるとともに，導来圏に関する一般的な予想とよく適合する結果である．
(3) 群の作用を考えることで，これまでの結果を一般化するとともに，新しい例の構成に成功した．