国名：日本国

国名： 日本国

国名： 日本国

団体区分：学協会

団体区分：学協会

担当区分：研究分担者 

本研究の主題は，熱方程式に現れる微分作用素であるラプラシアンのフラクタルにおける対応物，および熱拡散に対応する確率過程の，解析的性質・幾何的性質と両者の相互関係である．既存の研究では熱拡散の速さに対する不等式評価とその直接的な応用に関するものが主流である一方，確率過程の大域構造・調和測度（確率過程の境界集合への初到達位置の確率分布）・エネルギー測度など熱方程式の解を用いて直接記述することが困難な基本的対象も多く，後者の研究はその重要性にも拘らず遅れている．本研究課題は一方に偏らない両者の研究の進展，ひいてはフラクタルおよびその上の確率過程の解析学・幾何学の包括的な発展を目的とするものである．

担当区分：研究代表者 

配分額：3900000円 （ 直接経費：3000000円 、 間接経費：900000円 ）

ランダム媒中のディレクティドポリマー(DPRE) の1次元における超拡散性(媒質の影響によりブラウン運動に比べて遠くへいくこと)の証明, および確率熱方程式(SHE), KPZ方程式に対してその解の摂動の解析を行う. 超拡散性の証明のために自由エネルギーの解析を行い, その摂動係数と呼ばれる指数を求める. SHEおよびKPZ方程式の解の摂動はあるパラメータの領域においては中心極限定理が成り立つことが知られており, その領域の外における摂動に対する研究を行う.

担当区分：研究分担者 

2019年度は研究代表者の梶野および研究分担者の中島・田中・白石がそれぞれ研究計画調書に記した担当課題(1)～(7)および関連する新たな研究課題について，国内外の研究集会やセミナーに参加し研究発表および情報収集を行った．
課題(3)「エネルギー測度」については梶野がBritish Columbia大学のMathav Murugan氏と共同研究を行い，「上下からの劣Gauss型熱核評価を満たす対称拡散過程に対しそのエネルギー測度は対称測度に関し特異である」という20数年来の未解決予想を証明した．
課題(5)「フラクタル上の拡散過程を土台にした統計物理モデルの解析」については，梶野および中島が神戸大学理学研究科博士課程前期課程の小西航生氏と，ランダム媒質中のディレクティドポリマーの自由エネルギーに関し共同研究を行った．その結果，まずSierpinski格子グラフの場合に自由エネルギーの高温度での上下評価が1次元整数格子に対する既知の結果を拡張する形で得られ，さらに同様の結果を一般の無限グラフに対しても体積増大度や有効抵抗に関する適切な条件の下で証明できる見通しを立てた．
田中はフラクタル幾何学とも深い関連を持つKoebe-Andreev-Thurstonによるサークルパッキング定理の離散調和写像類似について研究を行った．これは離散調和関数の研究の非線型問題版である．
白石はBritish Columbia大学のOmer Angel氏とSarai Hernandez-Torres氏および京都大学のDavid A. Croydon氏との共同研究において，3次元一様全域木のスケール極限の存在およびその諸性質を証明するとともに，その応用として一様全域木の上のランダムウォークの研究も行い，これらの結果を論文( https://arxiv.org/abs/2003.09055 )にまとめ投稿した．
上記「研究実績の概要」に記した研究成果の中でも，課題(3)「エネルギー測度」についての20数年来の未解決予想は本科研費研究課題の開始以前から念頭にはあったものの解決の見通しは2019年度以前には全く立っておらず，この度解決に至ったことは極めて大きな進展でありこれだけでも当初の計画以上の進展と評するに値すると思われる．
課題(5)「フラクタル上の拡散過程を土台にした統計物理モデルの解析」についても，Sierpinski格子グラフに対する結果を得る段階まではほぼ当初の計画通りであったが，その後の考察により適切な条件を満たす一般の無限グラフへの拡張の見通しが立つとまでは年度当初には予期しておらず，その意味で当初の計画を幾分上回る進展があったと評価できる．
一方2018年度から取り組んでいた課題(6)「Liouville Brown運動の解析」については，Cambridge大学のSebastian Andres氏およびJason Miller氏を訪問する機会を見付けられなかったこともあり2019年度中には本質的な進展がなく，この課題に関する限りは研究の進展は遅れ気味であるといわざるを得ない．
研究計画調書に記した当初からの具体的な研究課題のうち田中・白石と梶野の協力を想定していたものについては残念ながら解決の見通しを立てることはできなかったものの，それらはいずれも既存の研究にはない本質的な困難の克服を要求する性質の課題であり解決の見通しが容易に立つようなことは元々想定していないため止むを得ないと思われる．田中・白石の両名ともに関連する新たな研究課題を独自に見出し精力的に研究を行ってはおり，本科研費研究課題の目的は果たせていると評価してよいと思われる．
以上の経過から，遅れ気味の研究課題もあるが当初の計画を大きく上回る進展を見せた研究課題もあり，全体としては計画以上の進展があったと判断する．
まず課題(5)「フラクタル上の拡散過程を土台にした統計物理モデルの解析」については，ランダム媒質中のディレクティドポリマーの自由エネルギーの高温度での上下評価を一般の無限グラフに拡張することを目標に梶野と研究分担者の中島が協力して研究を進める．
課題(6)「Liouville Brown運動の解析」については実は2020年4月以降の進展により上下からの劣Gauss型熱核評価が期待された形で証明できる見通しが立っており，そこで引き続きCambridge大学のJ. Miller氏および2020年4月にManchester大学に異動されたS. Andres氏を招聘あるいは訪問して議論を重ね，証明および論文の完成を目指して検討を続ける．
課題(3)「エネルギー測度」については2019年度に得られた結果にはエネルギー測度が特異になるかどうか不明な状況が一部に残っており，そこでこの点を含めた完全な解決を目指してBritish Columbia大学のM. Murugan氏を招聘あるいは訪問し共同研究を行う．
研究計画調書に記したその他の課題および関連する新たな研究課題についても，引き続き国内外の研究集会に出席して近年の研究の進展に関する情報の把握に努めるとともに，研究分担者の田中，白石と梶野の間での研究打合せにより解決に向けて努力する．
そして研究計画調書に記した通り，本研究の基本的立場である「分野横断的視点」の普及による数学の一分野としてのフラクタル研究の全体的な発展を実現するための第一歩として，2020年度にはフラクタルおよび特異距離空間の解析・幾何に関する国際研究集会を日本国内で開催し，フラクタルに関わる様々な分野の研究者を講演者として国内外から多数招聘し研究交流の促進を図る．

担当区分：研究代表者 

配分額：4160000円 （ 直接経費：3200000円 、 間接経費：960000円 ）

ランダムな界面モデルとして知られているKPZ方程式の高次元版について研究を行った. KPZ方程式は非線形な確率熱方程式で非線形項として関数の勾配の2乗が現れ, ランダムなノイズとして時空間ホワイトノイズを考えている. このような方程式自体は通常の意味での解を構成できないことが知られている. Bertini-Giacominが1997年に1次元の場合にはCole-Hopf解を考えることで乗法的確率熱方程式に帰着させることでその方程式の解の意味づけを行った. この結果KPZ方程式には"-∞"という繰り込み要素が含まれていることが示唆され, 2014年にM. Hairerが正則理論と呼ばれる理論を導入し広いクラスでの非線形熱方程式の解の特徴づけを可能にした. しかし2次元以上のKPZ方程式に対しては正則理論は適用できていなかった. しかし近年のKPZ方程式をめぐる先行研究により高次元では別の繰り込みの可能性が示唆されていた. そこで当該年度にはKPZ方程式の繰り込みについて先行研究を進展させ, より広い仮定の下で解析を行うことに成功した. これはC.Cosco氏, および中島秀太氏との共同研究である.
また一般的な無限グラフ上でランダム媒質中のディレクティドポリマーと呼ばれる統計力学模型の解析を行った. この研究では自由エネルギーと呼ばれる物理量の高温度での挙動を調べることに成功した. ただしグラフは完全に一般のものではなく, グラフの上でのランダムウォークの熱核が適切な挙動を満たすような仮定の下で考えている.
高次元でのKPZ方程式の特徴付けを当初の想定よりかなり詳細に示すことができた. 特に先行研究では初期条件が平坦なものに対して考えられており, その結果として得られていたものはEdward-Wilkinson方程式と呼ばれる確率熱方程式であった.
しかし今回得られた結果で実際には初期条件によってEdward-Wilkinson 方程式とは少し異なる方程式が現れた. これは今後の研究の方向性として新たな展望を与えるものと考えている.
Cosco氏, 中島秀太氏との共同研究では3次元以上のKPZ方程式について解析を行っていた. この解析手法は2次元にも適用可能であると考えており, まずはその方針で研究を行う予定である. 一方で時間ホワイトで空間は発散するような相関を持つ熱方程式にも関心がある. そこでそちらの方向からも解析を行うことも検討している.

担当区分：研究代表者 

配分額：2990000円 （ 直接経費：2300000円 、 間接経費：690000円 ）

ランダム環境中の分枝ランダムウォークの総個体数の対数の長時間挙動はランダム媒質中のディレクティドポリマーの自由エネルギーでコントロールされる.
研究期間全体を通じてこの自由エネルギーの挙動について空間次元が1,2次元の場合の挙動の評価を行った.
さらに高次元の場合に注目してランダム媒質中のディレクティドポリマーの臨界点を調べるためにランダムウォークピニング模型の解析も行った. この研究ではランダムウォークピニング模型に存在する2種の相転移の臨界点が一致することを証明し, 特に3次元以上の場合には劣臨界的な相では中心極限定理および普遍原理が成立することが証明された.

科目区分：大学院専門科目  国名：日本国

KPZ方程式は特異なSPDEであり, 通常の意味では解が定義できないことがよく知られている. しかし1次元においては97年のBertini-GiacominによるCole-Hopf変換による解の意味づけ, 2013年のHairerによる正則構造理論を用いた解の構成など様々な手法によってSPDEの意味づけと解がなされた.
一方で2次元以上の場合にはまだ解の意味づけには至っていない. この講義ではBertini-Giacominの手法を高次元に適用する解の意味づけに関する近年の取り組みとその結果について述べた後, それらで用いられた手法の紹介を行う.

科目区分：大学院専門科目